1. 介绍

有这么一句话，长文本用CBOW，短文本用lstm。CBOW就是Word2Vec的一种训练方法。
doc2vec和topic model是一个层次的东西。

首先在word2vec之前，做NLP的都是使用BOW或者n-gram。用BOW会损失上下文信息，用n-gram导致数据维度太高和稀疏问题。而doc2vec和word2vec是无监督学习，完全可以当做pre-train。

2. word2vec

2.1 背景知识

统计语言模型(Statistical Language Model)是用来计算一个句子的概率的概率模型。最基本的就包括n-gram和神经网络两个模型。对于统计语言模型可以使用最大似然把目标函数设置为：

$\prod\_{w\in C} p(w \vert Context(w)).$

C表示语料库，Context表示w的上下文。

神经概率语言模型，使用到了词向量，那就是对词典D中任意词w，指定一个固定长度的向量$v\in \mathbb{R}^{m}$。这个神经网络包括输入，投影，隐藏层和输出层。其中W，U分别是投影层和隐藏层以及隐藏层和输出层的权值矩阵。p,q为隐藏层和输出层的偏置向量。

投影层$x_w$规模是$(n-1)m$因为$Context(w)$含有$n-1$个单词的词向量，每个词向量长度为$m$,每个词向量首尾相拼。输出层为$\vert D\vert = N$，也就是语料库大小。

$\left\\{\begin{array}{l} & z\_w = \tanh(Wx\_w +p) \\\\ & y\_w = U z\_w + q, \end{array} \right.$

这样输出层是一个$y_w \in \mathbb{R}^N$的向量，但是这个不能表示成上下文为$Context(w)$下一个词恰好是词典中第i个词的概率，还需要做一个softmax归一化。然后似然函数$p(w \vert Context(w))$就可以写成。

$p(w \vert Context(w)) = \frac{e^{y\_{w,i}}}{\sum\_{j=1}^{\vert D\vert} e^{y\_{w,j}}}$

神经网络参数：$W\in \mathbb{R}^{n_h \times (n-1)m}$, $p\in \mathbb{R}^{n_h}$, $U \in \mathbb{R}^{N\times n_h}$, $q \in \mathbb{R}^{N}$. 词向量参数$V(w) \in \mathbb{R}^m$

神经概率语言模型相对于n-gram具有2点优势：词语间相似性使用词向量体现。自带smooth。

2.2 词向量

最简单就是one-hot representation，也就是词典大小是哪个词，哪一位就是1。另一种是Distributed Represetation，根据词的latent space Represetation的距离来判断它们语义信息。

刚刚说的神经网络就可以把词向量进行训练出来。也可以使用LSA和LDA估计词向量。

2.4 Hierarchical Softmax 生成词向量

主要是使用Huffman树来构建，因为主要对negative sampling过程感兴趣，暂不介绍了。

2.5 基于Negative Sampling 生成词向量

简称NEG，是NCE（noise contrastive estimation）简化版本。是使用相对简单的随机负采样，相对于Hierarchical Softmax提高速度，并且改善词向量质量。

2.5.1 CBOW 模型

CBOW模型就是已知w的上下文$Context(w)$，需要预测w。对于给定的$Context(w)$，词w就是正样本标注为1，其他就是负样本标注为0，当然负样本太多需要Sampling。希望最大化：

$g(w) = \prod\_{u \in \\{w\\} \bigcup NEG(w)} p(u\vert Context(w)),$

其中：

$p(u\vert Context(w)) = \left\\{\begin{array}{ll} & \sigma(x\_w^T \theta^u) & ,L^w(u) = 1\\\\ & 1- \sigma(x\_w^T \theta^u) &, L^w(u) = 0 \end{array} \right.$

写成整体就是：

$p(u\vert Context(w)) = [\sigma(x\_w^T \theta^u)]^{L^w(u)} [1- \sigma(x\_w^T \theta^u)]^{1-L^w(u)}$

最大化$g(w)$就相当于最大化$\sigma(x_w^T \theta^w)$同时最小化$\sigma(x_w^T \theta^u)$。对于一个语料库C，函数:

$G = \prod\_{w\in C}g(w)$

就是最后优化目标。

$\mathcal{L}(w,u) = \log G = \sum\_{w\in C} \left\\{ \log [\sigma(x\_w^T \theta^w)] + \sum\_{u \in NEG(w)}\log [\sigma(-x\_w^T \theta^u)] \right\\}$

接下来推导$\theta^u$和$x_w$公式。

$\theta^u = \theta^u + \eta [L^w(u) - \sigma(x\_w^T \theta^u)]x\_w.$ $\frac{\partial \mathcal{L}(w,u) }{\partial x\_w} = [L^w(u) - \sigma(-x\_w^T \theta^u)] \theta^u.$ $v(\tilde w) = v(\tilde w) + \eta \sum\_{u} \frac{\partial \mathcal{L}(w,u) }{\partial x\_w}, \tilde w \in Context(w)$

2.5.2 skip-gram 模型

也就是把上面的优化函数$G$改写：

$G = \prod\_{w\in C} \prod\_{u \in Context(w)}g(u)$ $g(u) = \prod\_{z \in \\{u\\} \bigcup NEG(u)} p(z\vert w).$ $p(z\vert w) = [\sigma(v(w)^T \theta^z]^{L^u(z)}[1-\sigma(v(w)^T\theta^z)]^{1-L^u(z)}$

2.5.3 负采样

对于负样本的词，基本就是一个带权采样问题。

2.6 Word2Vec源码的一些trick

$\sigma$近似计算，当$\vert x\vert>6$就直接设置为0,1
词典D采用hash进行存储。
</s>代替语料中换行符。
使用一个min_count去掉低频词
Subsampling，设置一个词频阈值。

3 paragraph2vec

在进行训练的时候，假如一个新的paragraph matrix，每个paragraph都被映射到一个向量。也就是算的时候不仅仅是CBOW的临近的词，还加上一个paragraph。具体可以看参考[1]。

参考

[1] Distributed Representations of Sentences and Documents
[2] word2vec数学原理详解：http://suanfazu.com/t/word2vec-zhong-de-shu-xue-yuan-li-xiang-jie-duo-tu-wifixia-yue-du/178
[3] https://www.zhihu.com/question/21661274
[4] https://github.com/placebokkk/writing/blob/master/word_embedding_note/word_representation_note_en.pdf

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Shen Huang's Blog

word2vec 以及 paragraph2vec 学习笔记